Wyznaczanie fundamentalnego zbioru rozwiązań równań różniczkowych liniowych jednorodnych drugiego rzędu, gdy znamy jedno rozwiązanie

Wyznaczenie fundamentalnego zbioru rozwiązań równania

\( y^{(n)}(t)+a_{n-1}(t)y^{(n-1)}(t)+\cdots + a_{1}(t)y^{\prime}(t)+a_{0}(t)y(t)=0, \hskip 1pc t\in I, \)

gdy współczyniki \( \hskip 0.3pc a_i(t)\hskip 0.3pc \) nie są stałymi, jest z reguły trudnym zadaniem. Jeżeli znamy jedno rozwiązanie \( \hskip 0.3pc y_1(t)\hskip 0.3pc \) równania ( 1 ) to kolejne, liniowo niezależne rozwiązanie szukamy w postaci \( \hskip 0.3pc y(t)=u(t)y_1(t),\hskip 0.3pc \) gdzie \( \hskip 0.3pc u(t)\hskip 0.3pc \) jest nieznaną funkcją. Metoda ta prowadzi do wyznaczenia rozwiązania równania różniczkowego liniowego rzędu \( \hskip 0.3pc n-1,\hskip 0.3pc \) gdzie niewiadomą jest funkcja \( \hskip 0.3pc u(t)\hskip 0.3pc \).
W praktyce metoda ta jest użyteczna dla równań rzędu drugiego.

Twierdzenie 1: Liouville'a

ZAŁOŻENIA:

Zakładamy, że funkcja \( \hskip 0.3pc y_1(t)\hskip 0.3pc \) jest rozwiązaniem równania

(2)

\( y^{\prime\prime}(t)+a_1(t)y^{\prime}(t)+a_0(t)y(t)=0, \hskip 1pc t\in I, \)

gdzie \( \hskip 0.3pc a_0(t),\hskip 0.3pc a_1(t)\hskip 0.3pc \) są funkcjami ciągłymi określonymi w przedziale \( \hskip 0.3pc I\hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc y_1(t) \neq 0,\hskip 0.3pc \) dla \( \hskip 0.3pc t\in I\hskip 0.3pc \).

TEZA:

Wtedy funkcja

(3)

\( y_2(t)=y_1(t)\displaystyle\int\dfrac{e^{-\int a_1(t)dt}}{y_1^2(t)}dt \)

jest rozwiązaniem równania ( 2 ) i wówczas oba rozwiązania \( \hskip 0.3pc y_1(t),\hskip 0.3pc y_2(t)\hskip 0.3pc \) są liniowo niezależne .

DOWÓD:

Szukamy rozwiązania równania ( 2 ) liniowo niezależnego z \( \hskip 0.3pc y_1(t)\hskip 0.3pc \) w postaci \( \hskip 0.3pc y(t)=u(t)y_1(t),\hskip 0.3pc \) gdzie \( \hskip 0.3pc u(t)\hskip 0.3pc \) jest nieznaną funkcją. Liczymy \( \hskip 0.3pc y^{\prime}(t)\hskip 0.3pc \), \( y^{\prime\prime}(t)\hskip 0.3pc \) i podstawiamy do równania ( 2 ).

\( \begin{aligned}&y^{\prime\prime}+a_1y^{\prime}+a_0y= uy_1^{\prime\prime}+2u^{\prime}y_1^{\prime}+ u^{\prime\prime}y_1+ a_1(uy_1^{\prime}+ u^{\prime}y_1) +a_0uy_1=\\ &y_1u^{\prime\prime}+(2y_1^{\prime}+a_1y_1)u^{\prime}+u(y_1^{\prime\prime}+a_1y_1^{\prime}+a_0y_1)=0.\end{aligned} \)

Uwzględniając, że \( \hskip 0.3pc y_1^{\prime\prime}+a_1y_1^{\prime}+a_0y_1=0, \) otrzymujemy równanie

\( y_1(t)u^{\prime\prime}(t)+(2y_1^{\prime}(t)+a_1(t)y_1(t))u^{\prime}(t) =0 \)

, w którym dokonując podstawienia \( \hskip 0.3pc v(t)=u^{\prime}(t)\hskip 0.3pc \) dostajemy równanie różniczkowe rzędu pierwszego o zmiennych rozdzielonych:

\( y_1(t)v^{\prime}(t)+[2y_1^{\prime}(t)+a_1(t)y_1(t)]v(t) =0. \)

Po rozdzieleniu zmiennych otrzymujemy równanie

\( \dfrac{dv}{v}=-\left(2\dfrac{y_1(t)}{y_1^{\prime}(t)}+a_1(t)\right)dt, \)

które następnie całkujemy obustronnie. Wtedy

\( \ln \vert v(t)\vert =-2\ln \vert y_1(t)\vert -\displaystyle\int a_1(t)dt + c. \)

Uwzględniając, że \( \hskip 0.3pc c\hskip 0.3pc \) można przedstawić w postaci \( \hskip 0.3pc c=\ln c_1\hskip 0.3pc \) i przenosząc logarytmy na prawą stronę równania otrzymujemy, że

\( \ln \left (\dfrac{\vert v(t)y_1^2(t)\vert}{c_1}\right )=-\displaystyle\int a_1(t)dt. \)

Stąd wynika, że

\( v(t)=c_1\dfrac{e^{-\int a_1(t)dt}}{y_1^2(t)} \)

gdzie stała \( \hskip 0.3pc c_1\hskip 0.3pc \) może przyjmować wartości dodatnie jak i ujemne.
Całkując powyższą równość otrzymujemy

\( u(t)=\displaystyle\int v(t)dt=c_1\displaystyle\int \dfrac{e^{-\int a_1(t)dt}}{y_1^2(t)}dt +c_2. \)

Zatem

\( y(t)=u(t)y_1(t)=c_1y_1(t)\displaystyle\int \dfrac{e^{-\int a_1(t)dt}}{y_1^2(t)}dt +c_2y_1(t). \)

Przyjmując \( \hskip 0.3pc c_1=1\hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc c_2=0,\hskip 0.3pc \) dostajemy drugie rozwiązanie równania ( 2 ) postaci

\( y_2(t)=y_1(t)\displaystyle\int \dfrac{e^{-\int a_1(t)dt}}{y_1^2(t)}dt . \)

Funkcje \( \hskip 0.3pc y_1(t), \hskip 0.3pc y_2(t)\hskip 0.3pc \) są liniowo niezależne ponieważ wrońskian

\( W(y_1,y_2)=\begin{vmatrix} y_1 & y_1\displaystyle\int \dfrac{e^{-\int a_1dt}}{y_1^2}dt \\ y_1^{\prime} & y_1^{\prime}\displaystyle\int \dfrac{e^{-\int a_1dt}}{y_1^2}dt +\dfrac{e^{-\int a_1dt}}{y_1}\end{vmatrix}=e^{-\int a_1dt} \)

nie jest równy zero.

Przykład 1:

Wyznaczyć rozwiązanie problemu początkowego

(4)

\( \begin{cases}t^2y^{\prime\prime}(t)-3ty^{\prime}(t)+4y(t)=0, & t\in (0,+\infty)\\ y(1)=0,\hskip 0.3pc y^{\prime}(1)=-1 & \end{cases} \)

jeżeli wiadomo, że \( \hskip 0.3pc y_1(t)=t^2\hskip 0.3pc \) jest rozwiązaniem równania jednorodnego.
Równanie jednorodne w ( 4 ) po podzieleniu stronami przez \( \hskip 0.3pc t^2\hskip 0.3pc \) można zapisać w postaci

(5)

\( y^{\prime\prime}(t)-\frac{3}{t}y^{\prime}(t)+\frac{4}{t^2}y(t)=0, \hskip 1pc t\in (0,+\infty). \)

Najpierw wyznaczymy drugie liniowo niezależne rozwiązanie równania ( 4 ).
Na podstawie twierdzenia Liouville'a szukane drugie rozwiązanie \( \hskip 0.3pc y_2(t)\hskip 0.3pc \) ma postać

\( y_2(t)=t^2\displaystyle\int \dfrac{e^{\int \frac{3}{t}dt}}{t^4}dt =t^2\displaystyle\int \dfrac{e^{3\ln t}}{t^4}dt=t^2\displaystyle\int \dfrac{e^{\ln t^3}}{t^4}dt=t^2\displaystyle\int\dfrac{1}{t}dt=t^2\ln t. \)

Ponieważ wiadomo, że \( \hskip 0.3pc y_1(t)\hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc y_2(t)\hskip 0.3pc \) są to rozwiązania liniowo niezależne, więc rozwiązanie ogólne równania ( 5 ) ma postać

\( y(t)=c_1y_1(t)+c_2y_2(t)=c_1t^2+c_2t^2\ln t. \)

Uwzględniając warunek początkowy otrzymujemy następujący układ równań

\( \begin{cases}y(1)=c_1+c_2\ln 1=c_1=0, & \\ y^{\prime}(1)=2c_1+c_2(2\ln 1+1)=2c_1+c_2=-1 & \end{cases} \)

którego rozwiązaniem jest \( \hskip 0.3pc c_1=0\hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc c_2=-1\hskip 0.3pc \).
Zatem rozwiązanie problemu początkowego ( 4 ) ma postać \( \hskip 0.3pc y(t)=-t^2\ln t. \)

Przykład 2:

Funkcja \( \hskip 0.3pc y_1(t)=e^{at}\hskip 0.3pc \) jest rozwiązaniem równania

\( y^{\prime\prime}-2ay^{\prime}+a^2y=0. \)

Wyznaczyć rozwiązanie ogólne tego równania.
Drugie liniowo niezależne rozwiązanie wyznaczamy ze wzoru ( 3 )

\( y_2(t)=e^{at}\displaystyle\int \dfrac{e^{\int 2adt}}{e^{2at}}dt=e^{at}\displaystyle\int \dfrac{e^{2at}}{e^{2at}}dt=e^{at}\int dt=e^{at}t . \)

Zatem ogólne rozwiązanie ma postać

\( y(t)=c_1e^{at}+c_2e^{at}t=e^{at}(c_1+c_2t), \)

gdzie \( \hskip 0.3pc c_1,\hskip 0.3pc c_2\hskip 0.3pc \) są to dowolne stałe.

Temat:
Opis:
Typ:

Email:

Matematyka